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Teoría de Distribución

Este post publicado en Planeta Gubatron

Un aspecto teórico importante que se suele ignorar durante el estudio de la variable compleja y el cálculo operacional es la teoría de distribución, que fundamenta la utilización de las funciones de prueba, funciones generalizadas (como el Delta de Dirac) y el uso subsecuente de las transformadas de Laplace, Fourier y Z (transformada de Hurewicz)

La teoría de distribución, desarrollada por Schwartz y Dirac, es a mi entender una de las revoluciones matemáticas más grandes de la historia y quizás la mayor en el siglo XX (dejando al lector la posibilidad de decidir entre eso y la teoría de la relatividad). Actualmente sus aplicaciones son vastas en el campo de la física, la ingeniería (especialmente la ingeniería eléctrica) y la estadística.

La teoría de distribución permite operar sobre objetos que tradicionalmente no hubieramos podido operar debido a las restricciones de la teoría matemática clásica. Esos objetos, que por comodidad se suelen llamar funciones, son en realidad distribuciones sobre las cuales se pueden definir las operaciones de una forma general, de manera que podamos trabajar sobre funciones con, por ejemplo, singularidades en ciertos puntos de interés.

Consideremos por ejemplo una función real, cuyas derivadas n-ésimas son contínuas en el dominio real. Esto, en algunos textos, se llama función suave e incluso he visto que lo llaman función simple ó sencilla. El conjunto de todas las funciones que cumplen con esas condiciones se denomina el conjunto de las funciones de prueba, K.

Existe un número N que nos permite enumerar dos propiedades (linealidad y continuidad) de una función real, llamada función generalizada. El proceso, entonces, de asignar ese número N a una funcion arbitraria, se conoce como distribución de una función generalizada. De las distribuciones se deducen interesantísimos teoremas, incluyendo la linealidad, el escalamiento, la traslación, la derivación de n-ésimo orden y el producto. Todas las demostraciones son muy bonitas pero en especial la de escalamiento y derivación de primer oden son demostraciones que, a diferencia de otros campos de la matemática, empiezan a enseñaos el poder que tiene esta teoría.

Existe una función generalizada (una distribución) que cumple con la siguiente propiedad:

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Todos los teoremas de distribuciones pueden ser demostrados para la función delta, incluyendo las dos conclusiones más importantes que los estudiantes de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias sueln utilizar: delta es una función par, y el área bajo su curva es unitaria. Puede sonar muy bonito aquí, pero intenten explicarle a un matemático que el área debajo de esto es uno:

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Esta teoría, de conceptos sencillos e intuitivos para el ingeniero, es la que fundamenta mucho de lo que se ve en el estudio de la variable compleja, como las transformadas de Laplace, Fourier y Hurewicz, y estas transformadas luego se utilizan especialmente en el procesamiento de señales en la Ingeniería de Telecomunicaciones. Leo en Wikipedia que, al menos Fourier, es utilizada para physics, number theory, combinatorics, signal processing, probability theory, statistics, cryptography, acoustics, oceanography, optics and diffraction, geometry, and other areas.

Por supuesto que, para los interesados, existen cosas como Math::FFT en CPAN para implementar el algoritmo de Fast Fourier Transform en sus programas en Perl. En CPAN hay muchos otros módulos para trabajar con teoría de distribución en varios campos, especialmente en estadística.

Para saber más

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